【频数的样本方差公式】在统计学中，样本方差是衡量一组数据与其平均值之间差异程度的重要指标。当数据以频数形式出现时，即某些数值出现的次数较多，我们通常使用“频数的样本方差公式”来计算这些数据的方差。
一、基本概念
- 频数（Frequency）：某个数值在数据集中出现的次数。
- 样本方差（Sample Variance）：描述一组样本数据与其中心趋势（如均值）之间的偏离程度。
对于频数数据，我们需要考虑每个数值及其对应的频数，从而更准确地计算方差。
二、频数的样本方差公式
设有一组数据，其中每个数值 $ x_i $ 出现的频数为 $ f_i $，共有 $ n $ 个不同的数值，总样本容量为 $ N = \sum_{i=1}^{n} f_i $。
则该组数据的样本方差公式为：
$$
s^2 = \frac{1}{N - 1} \sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2
$$
其中：
- $ s^2 $：样本方差
- $ x_i $：第 $ i $ 个不同数值
- $ f_i $：第 $ i $ 个数值的频数
- $ \bar{x} $：样本均值，计算方式为：
$$
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{N}
$$
三、计算步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 列出所有不同数值及其对应的频数 |
| 2 | 计算样本均值 $ \bar{x} $ |
| 3 | 对每个数值 $ x_i $，计算其与均值的差的平方 $ (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 4 | 将每个 $ (x_i - \bar{x})^2 $ 乘以对应的频数 $ f_i $ |
| 5 | 将所有结果相加，得到总和 $ \sum f_i (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 6 | 用总和除以 $ N - 1 $，得到样本方差 $ s^2 $ |
四、示例表格
| 数值 $ x_i $ | 频数 $ f_i $ | $ x_i \times f_i $ | $ x_i - \bar{x} $ | $ (x_i - \bar{x})^2 $ | $ f_i \times (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 1 | 2 | 2 | -2.4 | 5.76 | 11.52 |
| 2 | 3 | 6 | -1.4 | 1.96 | 5.88 |
| 3 | 5 | 15 | -0.4 | 0.16 | 0.8 |
| 4 | 4 | 16 | 0.6 | 0.36 | 1.44 |
| 5 | 1 | 5 | 1.6 | 2.56 | 2.56 |
| 合计 | 15 | 44 | 21.2 |
- 样本均值 $ \bar{x} = \frac{44}{15} ≈ 2.93 $
- 样本方差 $ s^2 = \frac{21.2}{15 - 1} ≈ 1.51 $
五、小结
频数的样本方差公式适用于处理以频数形式呈现的数据集，能够更有效地反映数据的离散程度。通过结合数值与频数，我们可以更准确地计算出方差，从而更好地理解数据分布特征。
该方法不仅适用于教学场景，在实际数据分析中也具有广泛的应用价值。