【分布函数名词解释】在概率论与统计学中，“分布函数”是一个非常基础且重要的概念，用于描述随机变量的取值规律。它可以帮助我们了解一个随机变量在某个范围内的概率情况，是研究随机现象的重要工具。
一、
分布函数（Distribution Function）也称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF），通常用 $ F(x) $ 表示。它是对随机变量 $ X $ 在某一特定值 $ x $ 以下（包括该值）的概率的度量，即：
$$
F(x) = P(X \leq x)
$$
分布函数具有以下几个基本性质：
1. 单调性：随着 $ x $ 的增大，$ F(x) $ 不会减小。
2. 右连续性：$ F(x) $ 在每个点都是右连续的。
3. 极限性：
- 当 $ x \to -\infty $ 时，$ F(x) \to 0 $
- 当 $ x \to +\infty $ 时，$ F(x) \to 1 $
根据随机变量的类型（离散或连续），分布函数的表现形式有所不同：
- 离散型随机变量：分布函数由各个可能取值的概率累加而成。
- 连续型随机变量：分布函数可以通过概率密度函数（PDF）积分得到。
二、表格展示
| 概念 | 定义 | 特点 | 示例 |
| 分布函数 | 随机变量 $ X $ 小于等于 $ x $ 的概率，记为 $ F(x) = P(X \leq x) $ | 单调递增、右连续、极限为0和1 | $ F(2) = P(X \leq 2) $ |
| 离散型分布函数 | 由各点概率累加而成 | 跳跃式变化，不连续 | 如抛硬币结果的分布函数 |
| 连续型分布函数 | 由概率密度函数积分得到 | 连续、平滑变化 | 如正态分布的分布函数 |
| 累积分布函数（CDF） | 与分布函数同义 | 常用于统计分析和概率计算 | 用于计算区间概率 |
三、总结
分布函数是理解随机变量行为的核心工具之一，无论是在理论研究还是实际应用中都具有重要意义。通过分布函数，我们可以更直观地掌握数据的分布特征，并据此进行进一步的统计推断和数据分析。